Республиканская олимпиада по физике 2012, 11 класс, теоретический тур

Калориметр в нанотехнологии (8 баллов)
Рассмотрим строение калориметра, используемого в нанотехнологии. Тонкая круглая мембрана, сделанная в виде диска из нитрида кремния, соединяется с оболочкой четырьмя тонкими и узкими термическими мостиками, а в остальном она термически изолирована от окружающей среды (фотография слева). В центре мембраны имеется маленький радиатор с похожей структурой и предназначенный для измерения температуры (фотография мембраны справа).

Подобный калориметр можно применять для исследования тепловых свойств титановых дисков, имеющих наноразмеры (они изображены светлыми точками на фотографии справа). Тепловая мощность, выделяемая или поглощаемая радиатором, зависит от времени по закону $P=P_{0}\cos(\omega t)$. При этом круговая частота $\omega$ настолько мала, что в произвольный момент времени $t$ температура $T(t)$ по всей поверхности диска калориметра может считаться одинаковой, а температура в мостиках меняется с расстоянием линейно. Мостики прикреплены к массивной оболочке, температура которой $T_0$ остается постоянной во времени. Каждый мостик имеет длину $L$, площадь поперечного сечения $S$ и коэффициент теплопроводности $k$, представляющий собой количество теплоты, передаваемой мостиком в единицу времени через единицу площади при падении температуры на $t^{\circ}$ С на $1$ м его длины. Теплоемкость калориметра вместе с титановыми дисками равна $С$.

1. Найдите тепловое сопротивление $R$ между калориметром и его оболочкой. Тепловое сопротивление представляет собой отношение разности температур к количеству теплоты, переносимому в единицу времени; (1 балл)

В пунктах $b)$ и $c)$ выражайте ваши ответы через $C$, $\omega$, $R$ и $P_0$.
2. Температура в калориметре по измерениям оказывается равной $T(t)=T_0+\Delta T\cos(\omega t+ \varphi)$. Найдите $\Delta T$ и $\varphi$, а затем постройте их графики независимости от $R$; (4 балла)
3. Для изучения тепловых свойств титановых дисков крайне важно, чтобы амплитуда колебаний температуры T(t) изменялась на как можно большую величину при маленьком изменении теплоемкости $C$, вызванном титановыми дисками. Исходя из этого, найдите оптимальную круговую частоту $\omega_0$; (2 балла)
4. Выше считалось, что температура вдоль мостиков изменяется линейно, то есть пренебрегал ось их теплоемкостью. Это предположение не выполняется при достаточно высоких частотах $\omega>\omega_{c}$. Оцените $\omega_c$, выразив ее через $k$, $L$, удельную теплоемкость $c$ и плотность материала мостиков $\rho$. (1 балл)