Областная олимпиада по математике, 2000 год, 9 класс

На доске написаны три целых числа. На каждом шаге стирается одно число и вместо него записывается сумма оставшихся двух, уменьшенное на единицу. После нескольких таких ходов на доске остались числа 17, 75, 91. Могло ли первоначально написанные числа равняться:
а) 2, 2, 2; $\quad$
б) 3, 3, 3?

Комментарий/решение

а) Ответ: нет.

Обобщим вид (2,2,2) в (2r,2k,2m)

Заметим то-что после первого хода остается

(2k+2m-1,2k,2m) , теперь заметим какой бы ход мы не сделали цифры не изменят чётность.Где из вида (2$a_1$,2$a_2$,2$a_3$) возможно получить только вид ( 2$q_1$ -1,2$q_2$,2$q_3$ ), откуда из (2,2,2) невозможно получить (17,75,91).

б) Ответ: да

Например: (3,3,3) $\Rightarrow$ (3+3-1=5,3,3)$ \Rightarrow$ (5,3,5+3-1=7)$\Rightarrow$(5,5+7-1=11,7)$\Rightarrow$(11+7-1=17,11,7)$ \Rightarrow$(17,11,17+11-1=27)$\Rightarrow$(17,17+27-1=43,27)$\Rightarrow$(17,43,43+17-1=59)$\Rightarrow$(17,59+17-1=75,59)$\Rightarrow$(17,75,75+17-1=91)$\Rightarrow$(17,75,91).

Если на доске написаны числы $(a,b,c)$ и $a \geq b \geq c$ то до этих чисел на доске были чсилы $(b - c + 1, b, c)$ соотственно. Если $b - c + 1\geq c$ то до этих сиел на доске были числы $(b - c + 1, b - 2c + 2, c)$ и т.д. На доске есть числы $(17, 75, 91)$. Значить до этих чисел на доске были числы $(17, 75, 59)$; $(17, 43, 59)$; $(17, 43, 27)$; $(17, 11, 27)$; $(17, 11, 7)$; $(5,11, 7)$; $(5, 3, 7)$; $(5, 3, 3)$; $n, 3, 3$ если $n =3$ то пункт б выполненю пункт a невозможен так как в конце только нечетные числы а $н + н - 1 = н$