1-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2005 год, старшая лига

К жесткому невесомому стержню прикреплены два точечных тела с массами $0,5$ кг и $0,7$ кг на расстояниях $1$ м и $0,9$ м соответственно от точки подвеса. Найдите период колебаний такой системы. (8 баллов)

Комментарий/решение

Тривиальная идея:

Для решения задачи можно воспользоваться частотой колебаний для физического маятника

$\omega=\sqrt\frac{MgX_{cm}}{I}$

где $I$ - это момент инерции относительно точки крепления, а $X$ - это центр масс двух тел:

$X_{cm}=\frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}$

$I=m_1x_1^2+m_2x_2^2$

Подставляя их в наше уравнение частоты колебаний:

$\omega=\sqrt\frac{(m_1x_1+m_2x_2)g}{m_1x_1^2+m_2x_2^2}$

Период колебаний

$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{\sqrt\frac{(m_1x_1+m_2x_2)g}{m_1x_1^2+m_2x_2^2}}\approx1.95 $ секунд.

Для случая когда массы прикреплены на противоположных сторонах стержня, период колебаний:

$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{\sqrt\frac{(m_2x_2-m_1x_1)g}{m_1x_1^2+m_2x_2^2}}\approx5.75$ секунд.