5-я Жаутыковская олимпиада (2009), теоретический тур

Эта задача состоит из четырех частей, не связанных друг с другом. 1А (2 балла)

На гладкую поверхность закреплённой на столе полусферы радиуса $R$ кладут небольшое тело и отпускают без толчка. На какой высоте $h$ над столом тело оторвётся от полусферы, если его начальное положение находилось на высоте $h_0$.
1В (3 балла)

Электрический нагреватель воды состоит из двух коаксиальных хорошо проводящих цилиндров длиной $L$. Радиус внутреннего цилиндра равен $r$, расстояние между цилиндрами значительно меньше радиусов цилиндров и равно $h$. Цилиндры подключены к источнику постоянного напряжения $U_0$. Между цилиндрами медленно протекает вода, которая нагревается благодаря протекающему через нее электрическому току. Рассчитайте, с какой скоростью должна течь вода, чтобы ее температура повысилась на $\Delta t$ градусов. Характеристики воды: плотность $\gamma$, удельное электрическое сопротивление $\rho$, удельная теплоемкость $c$. Теплоемкостями цилиндров и потерями теплоты в окружающую среду можно пренебречь.
1C (2 балла)

Для измерения электрического сопротивления широко используются мостовые схемы. На рисунке показана электрическая схема моста Уитстона, предназначенная для измерения неизвестного сопротивления $R_{x}$. Сопротивления резисторов $R_1$ и $R_2$ можно плавно изменять. Сопротивление резистора $R_0$ известно с высокой точностью. Изменяя сопротивления $R_1$ и $R_2$, добиваются, чтобы ток $i$ через миллиамперметр стал равным нулю. В этом случае говорят, что мост сбалансирован.
1. Выразите неизвестное сопротивление $R_{x}$ через сопротивления $R_1$, $R_2$, $R_0$ при условии сбалансированности моста.
2. В реальных измерениях практически невозможно точно зафиксировать отсутствие тока через миллиамперметр, так как его чувствительность ограничена. Пусть минимальное значение силы тока, которое может зафиксировать миллиамперметр равно $i_0$ (то есть при $i 1D (3 балла) Солнечным утром на освещаемом солнцем сухом асфальте видны блестящие пятна, похожие на лужи воды. Их появление является простейшим миражом — реально в этих «лужах» мы видим отражение неба. Цель данной задачи дать теоретическое описание этого явления. Показатель преломления воздуха $n$ зависит от концентрации молекул $\gamma$ в соответствии с формулой $$n=1+\frac{\alpha \gamma}{2},\eqno(1)$$ где $\alpha=2,3\cdot 10^{-29}$ м$^3$ — средняя поляризуемость молекул воздуха. Будем считать, что температура воздуха равна $t_0=20^{\circ}$ С, атмосферное давление $P_0=1,0\cdot 10^5$ Па. Благодаря солнечным лучам у поверхности асфальта образуется тонкий слой более нагретого воздуха, температура которого на $\Delta t=2,0^{\circ}$ С выше, чем температура более высоких слоев. Водитель движется прямолинейно по горизонтальной дороге, причем его глаза находятся на высоте $h=1,2$ м над поверхностью асфальта. Оцените, на каком расстоянии от водителя он может увидеть ближайшую к нему лужу-мираж. Постоянная Больцмана $k_{B}=1,38\cdot 10^{-23}$ Дж/К. При решении данных задач вы можете использовать приближенные формулы справедливые при малых значениях $x$: $$(1+x)^{\gamma} \thickapprox 1+\gamma x$$ $$\sin x\thickapprox x$$ $$\cos x\thickapprox 1-\frac{x^2}{2}$$