Математикадан облыстық олимпиада, 1999-2000 оқу жылы, 10 сынып

Пирамида табаны дұрыс тоғызбұрыш. Табанының әр диагоналі мен ірбір бүйір жағы екі түстің біреуіне боялады — қызыл немесе көк (табан қабырғалары боялмайды). Бірдей түске боялған үшбұрыш құрайтын үш кесінді табылатынын дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Из $9$ боковых сторон у нас найдется $5$ одного цвета - боо красный. Покажем что какие то $3$ вершин красных боковых сторон попарно образуют диагонали - закрашенный треугольник на основании. Для начала докажем что есть вершина у которой не более $1$ сосед в начальном девятиугольнике. Пусть от противного у каждого из них по $2$ соседа, тогда они образуют правильный незакрашенный пятиугольник что невозможно. У нас есть вершина образующая диагональ с $3$ вершинами и из них найдется $2$ также образующую диагональ. Следовательно у нас есть треугольник на основании, соеденяющий красные боковые стороны. Если у треугольника хотя бы $1$ сторона красная, задача решена. Иначе все стороны синие, что требовалось.