11-я Жаутыковская олимпиада (2015), теоретический тур

Сосуд с водой (7 баллов)

В цилиндрический сосуд поперечного сечения $S=0.5$ м$^2$ и высотой $h=0,5$ м через герметичную крышку вертикально вставлена открытая с обоих концов трубка длиной $L=2$ м, так что нижний конец немного не доходит до дна сосуда. В сосуд через трубку наливают воду плотностью $\rho=1000$ кг/м$^3$ как показано на рисунке. Площадь сечения трубки много меньше площади сечения сосуда, а материал стенок сосуда хорошо проводит тепло. Атмосферное давление равно $p_0=1,01\cdot 10^5$ Па, температура окружающего воздуха равна $T_0=293$ К, ускорение свободного падения равно $g=9,8$ м/с$^2$.
1. [2,0 балла] Найдите высоту уровня воды в сосуде $x=x_0$ в тот момент, когда трубка будет полностью заполнена водой. Ответ выразите через $p_0$, $\rho$, $g$, $h$, $L$ и найдите его численное значение. Стенки сосуда и трубки покрывают материалом, который не проводит тепло. Воздуху внутри сосуда начинают сообщать тепло достаточно быстро, так что вода не успевает прогреваться.
2. [0,5 балла] Найдите зависимость давления воздуха в сосуде $p(x)$ как функцию от $x$. Ответ выразите через $p_0$, $\rho$, $g$, $L$, $x$.
3. [1,0 балла] Найдите зависимость температуры воздуха в сосуде $T(x)$ как функцию от $x$. Ответ выразите через $p_0$, $\rho$, $g$, $L$, $x$.
4. [1,0 балла] Найдите до какой температуры $T_m$ необходимо нагреть воздух, чтобы он полностью вытеснил воду из сосуда. Ответ выразите через $p_0$, $\rho$, $g$, $L$, $T_0$ и найдите его численное значение.
5. [2,5 балла] Найдите количество теплоты $Q$, которое надо сообщить воздуху, чтобы он полностью вытеснил воду из сосуда. Ответ выразите через $p_0$, $\rho$, $g$, $h$, $L$, $S$ и найдите его численное значение.