Математикадан облыстық олимпиада, 2000-2001 оқу жылы, 9 сынып

$3\times 3$ кестесінің әр торында нақты сан жазылған. $i$-ші қатар мен $j$-ші бағанның қиылысуында орналасқан сан, $i$-ші қатарда тұрған сандар қосындысы мен $j$-ші бағанда тұрған сандар қосындысының айырма модуліне тең $(i,j=1,2,3)$. Кестенің әрбір мүшесі қандай да бір басқа екі мүшелерінің қосындысына немесе айырмасына тең екенін дәлелдендер.

Комментарий/решение

Пусть ai - сумма элементов в строке номера i, аналогично bi со столбцами. Очевидно a1 + a2 + a3 = b1 + b2 + b3. Число на на 1 строке и 1 столбце равна |a1 - b1| = |a2 + a3 - b2 - b3|, откуда |a1 - b1| = x|a2-b2| + y|a3 - b3|, где x,y = +-1. Очевидно х = у = -1 невозможно, ибо |a1 - b1| > 0. Тогда |a1 - b1| - сумма или разность |a2 - b2| и |a3 - b3|. Аналогично остальные