Математикадан облыстық олимпиада, 2000-2001 оқу жылы, 9 сынып

Үш оқушы $A$, $B$ және $C$ лицейге түсу үшін тесттерді тапсырып жатыр. Тесттер бірнеше тур болып өткізіледі. Әрбір турда ең жақсы, орташа және нашар нәтижелері анықталады. Ең жақсы нәтижесі үшін $x$ ұпай, орташа нәтижесі үшін $y$ ұпай, ал нашар нәтижесі үшін $z$ ұпай беріледі, мұндағы $x > y > z$ — натурал сандар. Ең соңында $A$ оқушысы 22 ұпай, $B$ және $C$ әрқайсысы 9 ұпайдан алған. Бірінші турда ең жақсы нәтижені $B$ оқушысы көрсетті. Неше тур өткізілгенін және әр турда кім қандай нөтиже көрсеткенін анықтаңыздар.

Комментарий/решение

$z<y<x<9$

Так как у ученика А самый большой результат и огромный по сравнению с B и C, будем считать что в первом раунде А набрал y, B набрал x, а С набрал z очков. В последующих турах А набирал x, B набирал z, C - y очков.

Получается система уравнений:

\begin{gathered}A=y+kx=22,\\B=x+kz=9, \\C=z+ky=9\\\end{gathered}

Где k - количество проведенных туров, не считая первого.

$y+kx+x+kz+z+ky=40$

$x+y+z+k(x+y+z)=40$

$(k+1)(x+y+z)=40$

так как x, y, z натуральные числа и z<y<x, то их минимальная сумма будет 6, перебором убеждаемся, что $k+1=5$, $x+y+z=8$ или $k+1=4$, $x+y+z=10$

Для k=4:

$x+4z=9$

$9-x=4z$. Правая часть делится на 4, значит левая тоже должна делится на 4. Единственный х для которого это возможно это 5, а значит z будет 1. $5+1+y=8$, $y=2$

для k=3:

$x+3z=9$. Аналогичным способом получаем, что x = 6, z = 1, а y = 3, но подставляя в другие уравнения, значения не будут равными. $z+4y=9$, $13=9$, что противоречит условию. Следовательно $k=4$, а $(x,y,z)=(5,2,1)$

Построим таблицу для проверки:

A 2 7 12 17 22

B 5 6 7 8 9

C 1 3 5 7 9