2-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6 класс, 2 тур, 2017 г.

Клетчатый квадрат $2017\times 2017$ разрезали на несколько прямоугольников (по границам клеток). Докажите, что среди них найдётся прямоугольник, периметр которого делится на 4. (8 баллов)

Комментарий/решение

Заметим, что, так как периметр прямоугольника --- это удвоенная сумма двух его непараллельных сторон, периметр делится на 4 тогда и только тогда, когда сумма этих двух непараллельных сторон четна, то есть когда длины этих сторон одной четности. Таким образом, нам необходимо доказать, что найдется прямоугольник, обе стороны которого имеют одну четность. Мы же докажем даже больше, что найдется прямоугольник, обе стороны которого нечетны. Предположим, что это утверждение не верно. Это значит, что в каждом прямоугольнике хотя бы одна сторона имеет четную длину, а значит его площадь четна. Просуммировав площади всех прямоугольников получим четное число, однако площадь квадрата, равная сумме площадей прямоугольников разбиения, нечетна ($2017^{2}$). Полученное противоречие завершает доказательство.