Областная олимпиада по математике, 2001 год, 11 класс

Докажите, что любое целое число представимо в виде $x^2+y^2+z^3$, где $x$, $y$ и $z$ — целые числа.

Комментарий/решение

Помогите пожалуйста а как представить число семь.

4+1+0=5

4+1+1=6

4+4+0=8

4+4-1=7

Можете помочь, я представил любые нечетные числа:

$2k+1=(k^2-k-1)^2+(k^3-3k^2+k)^2+(-k^2+2k)^3$

А как представить любое четное число?

Представить любое чётное число с помощью одной формулы очень сложно или невозможно. Так что я разделил чётные числа на 2 случая($4k$ и $4k+2$), тогда:

$4k+2=(2k^3−2k^2−k)^2+(2k^3−4k^2−k+1)^2+(−2k^2+2k+1)^3$

Точно так же найти формулу для $4k$ очень сложно. И сделаем точно так же:

$8k+4=(k^2−2k−1)^2+(k^2−2k−1)^2+(−k^2−1)^3$.

Далее заметим что любое натуральное число представимо в виде $n=8^ma$, где $a$ не делиться на 8 и $m$ - натуральное число. Очевидно что $a$ будет одним из чисел которым я предоставил формулу. Теперь заметим, если $a=x^2+y^2+z^3$, тогда $8a=(2x-2y)^2+(2x+2y)^2+(2z)^3$. Из этого всего выходит что любое натуральное число представимо в виде суммы двух квадратов и куба целых чисел.

не поможешь себе, никто не поможет

Смотрю и удивляюсь как я 2 года назад находил данные коэффициенты для уравнений?!

\textbf{Задача.}

Докажите, что любое целое число можно представить в виде

\[

n = x^2 + y^2 + z^3,

\]

где $x,y,z\in\mathbb Z$.

\textbf{Решение.}

Рассмотрим произвольное целое число $n$. Пусть

\[

n - z^3 = m .

\]

Тогда

\[

n = x^2 + y^2 + z^3

\]

эквивалентно представлению

\[

m = x^2 + y^2 .

\]

Заметим, что кубы дают все возможные остатки по модулю $4$:

\[

z^3 \equiv 0,1,3 \pmod 4 .

\]

Следовательно, выбирая $z$, можно добиться любого остатка числа

$m = n - z^3$ по модулю $4$.

Известно, что любое целое число, не имеющее простых делителей вида

$4k+3$ в нечётной степени, представимо в виде суммы двух квадратов.

Выбирая подходящее $z$, можно добиться того, чтобы число $m=n-z^3$

удовлетворяло этому условию.

Тогда существуют такие целые числа $x$ и $y$, что

\[

m = x^2 + y^2 .

\]

Подставляя обратно, получаем

\[

n = x^2 + y^2 + z^3 .

\]

Следовательно, любое целое число представимо в требуемом виде.