Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2019 год

Докажите, что ни при каком натуральном $n$ произведение $ (1^4+1^2+1)(2^4+2^2+1)\ldots(n^4+n^2+1) $ не является точным квадратом. ( K. Gaitanas )

Комментарий/решение

$\textbf{Решение:} \quad x_n=n^4+n^2+1=(n^2+1)^2-n^2=(n^2-n+1)(n^2+n+1)$

$$ x_{n+1}=((n+1)^2-(n+1)+1)((n+1)^2+(n+1)+1)=(n^2+n+1)(n^2+3n+3)$$

$$ \prod_{k=1}^{n}x_k=3\cdot (3 \cdot 7)\cdot (7\cdot13) \cdot... \cdot ((n^2-n+1)\cdot(n^2+n+1))=(3\cdot 7 \cdot 13\cdot...\cdot(n^2-n+1))^2\cdot (n^2+n+1)\Rightarrow$$

Число $ \prod_{k=1}^{n}x_k$ будет точным квадратом тогда и только тогда, когда число $(n^2+n+1)$ также является точным квадратом.

$$\Rightarrow n^2<n^2+n+1<(n+1)^2$$

Получили, что число $(n^2+n+1)$ лежит между квадратами двух последовательных натуральных чисел, т.е. не является полным квадратом.

Эта задача у нас на области была

http://matol.kz/comments/674/show

ха-ха, логично как получилось.

получается... задача международной олимпиады на области?

После перегруппировки соседних одинаковых множителей получаем:

$$P = (1^2 - 1 + 1) \cdot (1^2 + 1 + 1)^2 \cdot (2^2 + 2 + 1)^2 \dots ( (n-1)^2 + (n-1) + 1 )^2 \cdot (n^2 + n + 1)$$

Так как $(1^2 - 1 + 1) = 1$, выражение упрощается до:

$$P = \left( \prod_{k=1}^{n-1} (k^2 + k + 1) \right)^2 \cdot (n^2 + n + 1)$$

Дальше легко зажато между квадратами а сначала чтобы получить это надо сделать factorization вот поэтому и обл 11 р3