Математикадан облыстық олимпиада, 2001-2002 оқу жылы, 10 сынып

Үш мектептің әрқайсысында 200 оқушыдан оқиды. Әрбір оқушының әр мектепте кем дегеңде бір досы бар (егер $a$ оқушысы $b$ оқушысының досы болса, онда $b$ оқушысы да $a$ оқушысының досы деп есептелінеді). 300 оқушыдан тұратын $\sum $ жиыны бар. Бұл жиында кез келген $S$ мектебі және осы мектепте оқымайтын кез келген екі $x,y\in \sum $ оқушылары үшін, $S$ мектебінде оқитын достарының саны өзгеше екені белгілі. Әр түрлі мектептерде оқитын, бір-бірімен дос үш оқушы бар екенін дәлелдеңдер.

Комментарий/решение

Пусть $\Sigma$ состоит из $S_1$, $S_2$, $S_3$ количества учеников первой, второй, и третьей школы соответственно. По условию количество друзей в школе $S$ может принимать значения от $1$ до $200$, следовательно количество учеников из $\Sigma$ не учащиеся в $S$ не больше $200$. Значит $S_1,S_2,S_3 \geq 100$, у нас тут равенства значит $S_1=S_2=S_3=100$.

Пусть боо ученик который дружит со всеми в второй школе учится в первой школе. У него есть друг из третьей школы, у которого есть друг с второй школы. Эта тройца удовлетворяет условию.