Математикадан облыстық олимпиада, 2002-2003 оқу жылы, 10 сынып

$g$ функциясы натурал $1\le n\le 2003$ сандарында анықталған және келесі шарттарды қанағаттандырады:
$g\left( 2 \right)=1$;
$g\left( 2n \right)=g\left( n \right)$;
$g\left( 2n+1 \right)=g\left( 2n \right)+1$.
$g$ функциясының макмимумы $M$ болсын. $M$-ді және $g\left( n \right)=M$ теңдігін қанағаттандыратын барлық натурал $n$ сандарының жалпы санын анықтаңыз.

Комментарий/решение

Здесь не указано в условии вопрос. В казахском варианте полное, а в русском нет.

как вы получили 2 дизлайка, когда ваш коммент был создан 13 минут назад, а кнопки дизлайка уже нет?

Я этот коммент писал вроде 2 года назад, но админ ещё не исправил. Вот только что средактировал(изменил).

Исправлено.

Ответ: М = 10.

Заметим, что при увеличении в 2 раза функция не меняется. А при увеличении на 1 из чётного растёт на 1. Это в точности соответствует двоичной записи числа. Так как g(2) = 1, то g(n) - кол-во единиц в двуличный записи числа n. Так как 2¹⁰ < 2023 < 2¹¹, то М = 10.