18-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2022 год

Ненулевые многочлены $P(x)$, $Q(x)$ и $R(x)$ с вещественными коэффициентами удовлетворяют тождествам $$ P(x)+Q(x)+R(x)=P(Q(x))+Q(R(x))+R(P(x))=0. $$ Докажите, что степени всех трёх многочленов чётны. ( И. Богданов )

Комментарий/решение

По первому условию понятно что у двух многочленов одинаковая степень, и у третьей степени меньше их (в ином случае максимальная степень не сможет сократиться в уравнении). Если посмотреть по второму уравнению, то можно понять что степени всех многочленов равны. Допустим что все многочлены нечётны. Давайте $a, b, c$ это коэффициенты этих высших степеней в многочлене соответсвенно, значит $a+b+c=0$, а по второму уравнению следует что $ab^n + bc^n +ca^n=0$. Так же какие то два числа имеют одинаковый знак, пусть $a,b>0$ и $c=-(a+b)<0$, так же следует что $|c|>a, b>0$. Значит $|bc^n +ca^n|= ab^n$. Но $|bc^n + ca^n|> |bc^n|> b*|c|*|c^{n-1}| > a*b*b^{n-1}$ что является противоречием. Для случая двух отрицательных так же.

Заметим что если $deg P>deg Q \geq deg R$ тогда $P+Q+R=0$ когда то не будет равнятся $0$ при увелечение $x$.

Если $degP=deg Q > deg R$ тогда такая же ситуация происходит в $P(Q)+Q(R)+R(P)=0$, то есть отсюда $deg P=deg Q=deg R$.

Пусть старшие коэффициенты в $P$ и $Q$ будут $a,b$ тогда старший коэффициент у $R$ это $-(a+b)$. Рассмотрим старший коэффициент второго равенство:

$ab^n+b(-(a+b)^n)+(-(a+b))a^n=0$

Где $deg P=n$ и пускай он будет нечетным. Тогда можно преобразовать в:

$ab^n=b(a+b)^n+a^n(a+b)$

Б.О.О $a,b$ одного знака и больше $0$, иначе можно умножить на $-1$. Тогда:

$1) a \geq b $

$ab^n= b(a+b)^n+a^n(a+b)>a^n(a+b) > a^{n+1} \geq ab^n$ что невозможно.

$2) b>a$

$ab^n=b(a+b)^n+a^n(a+b)> b(a+b)^n>b^{n+1}>ab^n$ что тоже невозможно.