5-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6 класс, 2 тур

Лагерьде көңілсіз отырған 100 оқушыны көрген мұғалім, оларды аулаға кіргізіп өзінің добын берді. Сонда көңілсіз оқушылардың барлығы допты біріне–бірі лақтырып ойнай бастады. Егер допты көңілсіз оқушы лақтырып, ол басқа көңілсіз оқушыға тисе, лақтырған оқушының көңіл күйі көтеріледі де, одан кейін ол енді қайта көңілсіз болмайды. Допты лақтырған кезде, сол доп қандай да бір оқушыға тисе, сол оқушы ауладан шығып кетеді. Ойын соңында аулада тек бір оқушы қалған уақытқа дейін, ауладан қандай оқушылар көбірек шыққан: көңілді ма, әлде көңілсіз бе?

Комментарий/решение

В процессе этой игры может появиться не более 50 веселых мальчиков. Действительно, веселый мальчик появляется только в тот момент, когда грустный мальчик попадает в грустного, но тогда тот, в кого попали, выходит из игры, то есть для появления одного веселого мальчика количество грустных мальчиков в игре должно уменьшиться на 2. Таким образом, из игры вышло не более 50 веселых мальчиков (их просто больше нет), то есть не более половины всех игравших. Однако, если предположить, что грустных мальчиков выбыло меньше, оставшийся в конце мальчик должен быть грустным. Следовательно, он не попал ни в кого из грустных и в него никто из грустных не попал. Таким образом, количество веселых мальчиков не могло стать больше чем 99\2, то есть 49. Следовательно, в любом случае выбыло не более 49 грустных мальчиков.