5-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6 класс, 2 тур

В лагере учитель, увидев 100 грустных мальчиков, завел их во двор и отдал им свой мяч. После этого мальчики начали играться, кидая друг в друга мяч. Грустный мальчик, попавший мячом в другого грустного мальчика, становился веселым, и больше не грустнеет. Мальчик, в которого попали, выбивает из игры. Каких мальчиков больше выбыло из игры — веселых или грустных — к моменту, когда в игре остался всего один мальчик?

Комментарий/решение

В процессе этой игры может появиться не более 50 веселых мальчиков. Действительно, веселый мальчик появляется только в тот момент, когда грустный мальчик попадает в грустного, но тогда тот, в кого попали, выходит из игры, то есть для появления одного веселого мальчика количество грустных мальчиков в игре должно уменьшиться на 2. Таким образом, из игры вышло не более 50 веселых мальчиков (их просто больше нет), то есть не более половины всех игравших. Однако, если предположить, что грустных мальчиков выбыло меньше, оставшийся в конце мальчик должен быть грустным. Следовательно, он не попал ни в кого из грустных и в него никто из грустных не попал. Таким образом, количество веселых мальчиков не могло стать больше чем 99\2, то есть 49. Следовательно, в любом случае выбыло не более 49 грустных мальчиков.