5-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 3 тур

На заключительном этапе Смагуловской олимпиады среди 7 классов участвовали 75 школьников. После того, как жюри оперативно проверили и опубликовали результаты, каждый участник посмотрев свой результат, начал сравнивать его с результатами других, подсчитывая, сколько учеников набрали баллов больше него, и сколько — меньше него. Могло ли оказаться так, что для каждого участника эти две величины имеют разные чётности? (Результаты участников не обязательно должны быть разными.)

Комментарий/решение

СПО

Пусть это возможно, тогда рассмотрим участника с минимальным количеством баллов и людей у которых меньше чем у него 0, то есть чётное кол-во, а у которых больше чем у него 74, тоже чётное тогда получается, что людей которые набрали столько сколько и он тоже должно быть чётное количество (потому что 75- чётное=не чётное), теперь рассмотрим участника который на месте по количеству баллов прямо перед минимальным количеством, тогда ситуация такая же как мы доказали, людей с минимальным количеством баллов чётное количество следовательно так же должно быть чётное количество людей набравших столько же баллов сколько участник который на месте по количеству баллов прямо перед минимальным количеством. Аналогично со всеми остальными местами получится пока не дойдём до участника у которого максимальное количество баллов людей у которых баллов ниже чем у него чётное следовательно таких участников как он тоже чётное количество. Выходит что если взять любое количество баллов которые набрали участники то будет чётное количество человек которые набрали эти баллы, но в сумме количество участников должно давать 75, а в сумме всех участников будет чётное количество человек противоречие.

Тк не считая ученика остальных будет 74, а оно чет. Значит людей у которых столько ж баллов сколько у ученика нечетное. Значит всего людей одного балла будет четное (учитывая первого ученика) значит противоречие ведь 75 нельзя представить как $2 \times (a+b+c...+N)$