Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2019-2020 учебный год. 7 класс.

На олимпиаде школьников по математике участникам было предложено 4 задач, каждая из которых оценивалось целым числом баллов от 0 до 10. После подведения итогов олимпиады, оказалось, что никакие два участника не показали одинаковый результат, и сумма баллов четырех участников, набравших наибольшее количество баллов, составляет ровно $1/4$ часть от общего числа баллов, набранных всеми участниками вместе. Найдите наибольшее возможное количество участников олимпиады.

Комментарий/решение

28 участников

Из условия выходит что набранные баллы за $4$ лежат в ряде $0,1,2,3,...40$ и количество участников $\leq 40$

Пусть последние 4 участника набрали $37,38,39,40$ попробуем поискать такой ряд $S=a+[b+b+1+b+2...+37+38+39+40]$ тогда $S=4(37+38+39+40)=616$ тогда $a+\dfrac{40 \cdot 41-b(b+1)}{2} = 616$ откуда $b=\dfrac{\sqrt{8a+1633}-1}{2}, \ 0<a<40$ тогда $8a+1633=c^2$ небольшим перебором выходит что $a=6,\ b=20$

Тогда получаем $S=6+(21+22+...+37+38+39+40)=616$ в этом ряду $21$ чисел, увеличим первое число на такое число, чтобы она не входило в сумму взятую из скобок (возьмем одно число из скобок и разобьем ее на сумму разных чисел) возьмем большее число $36=1+2+3+4+5+6+7+8$ так как его можно разбить на большее количество слагаемых, и его же убираем в скобках, один из примеров

$1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6\ 7\ 8\ 14 \ 15 \ 20\ 23\ 24\ 25 \ 26 \ 27 \ 28 \ 29\ 30\ 31\ 32\ 33\ 34\ 35\ 37\ 38\ 39\ 40 $ отметим что максимально большее число которое можно взять из скобок(так как в этом случае число слагаемых увеличивается) это $36$ так как четыре последних начинает от $37$ то есть всего $28$ чисел, но так как участник может набрать и $0$ баллов, то ответ $29$

Ответ:$34$

Решение:Пусть количество участников-$n$.И пусть $a_i$ это баллы набранные каким то челом а $S$-сумма всех участников.Пусть $a_i<a_j$ если $i<j$.$$S=\sum \limits_{i=1}^{n}{a_i}=4(a_{n-3}+a_{n-2}+a_{n-1}+a_n)\leq 4(37+38+39+40)=616 (1)$$

С другой стороны $$a_1\geq 0,a_2\geq1,\cdots,a_n\geq n-1 \Rightarrow S\geq \dfrac{(n-1)n}{2} (2)$$.Если $n\geq 36$ то $$S\geq \dfrac{(36-1)(36)}{2}=630\geq 616$$ а это противоречие $(1) \Rightarrow n\leq 35$ для $n=35$ будет $\sum \limits_{i=1}^{31}{a_i}=\dfrac{3}{4}S\geq 0+1+2+\cdots +31=465 \Rightarrow S\geq 620>616$ а это противоречие $(1)$.А для $n=34$ будет вот такой пример:$0,1,2,3\cdots29,34,36,37,38$ которое соблюдает все условия