Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2020-2021 учебный год. 8 класс.

$x^2+|x-1|=7/4$ теңдеудің түбірлерінің қосындысын табыңыз.
   A) $\sqrt{3}$ B) $\sqrt{3} - 1$ C) 1 D) $2\sqrt{3}$ E) 0

Комментарий/решение

\[ x^2 + |x-1| = \frac{7}{4} \Rightarrow \]

I)

\[ x^2 + x - 1 = \frac{7}{4} \quad \Rightarrow \quad x^2 + x - \frac{11}{4} = 0 \quad \Rightarrow \quad x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1-4 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{11}{4}\right)}}{2} \quad \Rightarrow \quad x_{1,2} = \frac{-1 \pm 2\sqrt{3}}{2} \]

II)

\[ x^2 - x + 1 = \frac{7}{4} \quad \Rightarrow \quad x^2 - x - \frac{3}{4} = 0 \quad \Rightarrow \quad x_{3,4} = \frac{1 \pm \sqrt{1-4 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)}}{2} \quad \Rightarrow \quad x_{3,4} = \frac{1 \pm 2}{2} \]

\[ x_{1,2} + x_{3,4} = \frac{-1 \pm 2\sqrt{3}}{2} + \frac{1 \pm 2}{2} = 0 \]

Ответ: E) 0

Теорема Виета: $ax^2 + bx + c = 0$ $\Rightarrow$ $x_1 + x_1 = \dfrac{-b}{a}$

$1) x^2 + x - \dfrac{11}{4} = 0$ $\Rightarrow$ $x_1 + x_2 = -1$

$2)x^2 - x - \dfrac{3}{4} = 0$ $\Rightarrow$ $x_1 + x_2 = 1$

$-1 + 1 = 0$