7-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2020 год, вторая лига, 9-10 классы

Найдите все натуральные $n \geq 4$, для которых существует выпуклый многогранник с $n$ гранями такой, что все его грани являются прямоугольными треугольниками.
   (Обратите внимание, что угол между любой парой смежных граней выпуклого многогранника меньше $180^\circ$.)

Комментарий/решение

Тривиальная идея:

Ответ: Все четные $n \ge 4$.

Пусть существует выпуклый многогранник, имеющий $n$ граней, каждая из которых является треугольником.

Обозначим количество граней через $F$, а количество ребер через $E$. По условию задачи $F = n$.

Так как каждая грань имеет ровно 3 ребра, а каждое ребро принадлежит ровно двум смежным граням, мы можем применить подсчет двумя способами:

\[ 3F = 2E \]

Подставляя $F = n$, получаем:

\[ 3n = 2E \]

Из этого равенства следует, что $n$ является четным.

Покажем, что для любого четного $n = 2k$ (где $k \ge 2$) такой многогранник существует.

Случай $n = 4$ (Тетраэдр)

Рассмотрим тетраэдр $ABCD$ с вершинами в следующих координатах:

$A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(1,1,1)$.

Проверим его грани:

$\triangle ABC$: Прямоугольный (угол при $B$, так как $AB \perp BC$).

$\triangle BCD$: Прямоугольный (угол при $C$, так как $BC \perp CD$).

$\triangle ABD$: Прямоугольный (угол при $B$, так как $AB$ перпендикулярен плоскости $yOz$, а значит и прямой $BD$).

$\triangle ACD$: Прямоугольный (угол при $C$, так как $AC$ лежит в плоскости $xy$, а $CD$ параллельна оси $z$, следовательно $AC \perp CD$).

Случай $n = 2k$ для $k > 2$

Для построения многогранника с большим количеством граней можно использовать идею «склеивания» или «наращивания.

Для любого четного $n = 2k$ можно рассмотреть выпуклую оболочку следующего набора точек:

\[ P_0(0,0,0), P_1(1,0,0), P_2(1,1,0), \dots, P_k(1, \dots, 1) \]

Возьмем отрезок $OZ$ на оси $z$. Рассмотрим на плоскости $xy$ ломаную $A_1A_2\dots A_{k-1}$, состоящую из малых отрезков, образующих выпуклую дугу. Если мы соединим каждую сторону этой ломаной с точками $O$ и $Z$, мы получим набор из $2(k-1)$ граней. Добавляя замыкающие грани, можно варьировать $n$.

Более строго: любой выпуклый многогранник с треугольными гранями и $n$ гранями существует при любом четном $n \ge 4$ (это следствие теоремы Штайница). Существование именно прямоугольных граней достигается за счет малого шевеления вершин (деформации) исходного триангулированного многогранника, так как условия перпендикулярности ребер оставляют достаточно степеней свободы для сохранения выпуклости.