Математикадан облыстық олимпиада, 2023 жыл, 10 сынып

$f\left(\frac{x+y}{4}\right)=\frac{f(x)+f(y)}{2}$ болатындай барлық $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ монотонды функцияларын табыңыз.

Комментарий/решение

Можно избежать использование монотонности. $P(2x,2x)$ и $2f(x)=2f(2x)$ и $f(x)=f(2x)$.

$P(4x,0)$ и $2f(x)=f(4x)+f(0)$, но $f(x)=f(2x)=f(4x)$, и $f(4x)=f(0)=c$ то есть $f(x)$ это константа.

Можно и не избегать монотонности.

$ P(2x,2x) \rightarrow f(2x)=f(x) $

Тогда

$ \dfrac{f(x)+f(y)}{2} = f(\dfrac{x+y}{4})= f(\dfrac{x+y}{2})$

А это функциональное уравнение Йенсена. Тогда имеет решение

$ f(x)=xc+d $, подставим.

$ \dfrac{(x+y)c}{4} +d = \dfrac{xc+d+yc+d}{2} $

$\dfrac{(x+y)c}{4} = \dfrac{(x+y)c}{2} $

То есть $с=0$, $f(x)=d$, константа.