6-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 2 тур

Дано натуральное число $a$. Оказалось, что среди чисел $\overline{a0}$, $\overline{a1}$, $\ldots$, $\overline{a9}$ ровно четыре делятся на 3 и только одно делится на 9. Докажите, что $(a-3)(a-6)$ делится на 27.

Комментарий/решение

$\overline {a0},\overline {a3},\overline {a6},\overline {a9}$.Вот эти $4$ числа делятся на $3$.Так как только $1$ делится на $9$,это точно не $\overline {a0},\overline {a9}$.Получается $a=6;3$.Значит либо $a-3$,либо $a-6$;один из них делится на $9$,а другой на $3$.

Тк 4 числа делятся на 3, то это $\overline {a0}$ ,$\overline {a3}$ ,$\overline {a6}$ ,$\overline {a9}$ и при этом только $\overline {a3}$ или $\overline {a6}$ делятся на 9, значит рассмотрим два случая когда первое делится на 9 или второе

1) Если $\overline {a3}$ делится на 9, то a= 9n+6, где n-натуральное число или 0. Значит у нас будет $$(9n+6-3)(9n+6-6) =(9n+3) * 9n=3*(3n+1) * 9n=27n*(3n+1)$$ и тк одно из множителей делится на 27, то и произведение делится

2) Если $\overline {a6}$ делится на 9, то оно будет иметь вид а=9n+3, и так же как и в первом случае

$$9n * (9n-3) =27n * (3n-1)$$ значит число делится на 27, тк один из множителей делится

Ответ: доказано