6-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6-7 класс, 3 (командный) тур


При каком наибольшем натуральном $n$, число ${{n}^{3}}+2023$ кратно $n+1$?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
2023-06-20 14:11:08.0 #

Jdjsns

  0
2023-06-20 14:26:15.0 #

Если $n^3+2023$ должно делится на $n+1$, то $\dfrac{n^3+2023}{n+1}$ целое

$$n^3+2023=n^3+1+2022=(n+1)(n^2-n+1)+2022$$

$$\dfrac{n^3+2023}{n+1}=\dfrac{(n+1)(n^2-n+1)+2022}{n+1}=n^2-n+1+\dfrac{2022}{n+1}$$,откуда следует ,что $\frac{2022}{n+1}$ целое.Тогда наибольшее значение n равно 2021

Ответ:n=2021

  0
2024-06-15 21:12:30.0 #

Заметим что если

$n+1 | n^3+2023$

то,

$n+1 | n^3+2023-n^2(n+1)=2023-n^2$

и еще

$n+1 | 2023-n^2+n(n+1)=2023+n$

Откуда $n+1 | 2022$, тогда $max (n)=2021$. Проверку проходит.