Математикадан облыстық олимпиада, 2005-2006 оқу жылы, 11 сынып

Теңдеуді натурал сандар жүйесінде шешіңіздер: $\textit{ЕКОЕ}(a,b)+\textit{ЕҮОБ}(a,b) = ab$. (ЕҮОБ — ең үлкен ортақ бөлгіш, ЕКОЕ — ең кіші ортақ еселік).

Комментарий/решение

Помимо вышеописанного соотношения между НОК и НОД , так же есть $[a,b] \cdot (a,b) = a \cdot b$ , то есть $[a,b]=x, (a,b)=y$ то $x+y=xy$ то есть $x=y=2$ это числа $a=b=2$

Возьмем $$a=dk, b=dl$$, где $$gcd(k,l,)=1$$.

Значит, получим:

$$dkl+d=d^2kl$$, поделив все на d:

$$kl(d-1)=1 \Rightarrow d=2, k=l=1$$

Отсюда выходит a=b=2