41-я Балканская математическая олимпиада. Варна, Болгария, 2024 год

Пусть $ABC$ — остроугольный треугольник с $AC > AB$ и пусть $D$ — основание биссектрисы угла $A$, опущенной на $BC$. Отражения прямых $AB$ и $AC$ относительно прямой $BC$ пересекают $AC$ и $AB$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Прямая, проходящая через $D$, пересекает $AC$ и $AB$ в точках $G$ и $H$ соответственно так, что $G$ находится строго между $A$ и $C$, а $H$ — строго между $B$ и $F$. Докажите, что описанные окружности треугольников $EDG$ и $FDH$ касаются друг друга.

Комментарий/решение

Заметим что

$\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{sin C}{sin B}=\frac{EB}{EC}$ значит $ED$ биссектриса угла $BEC$ аналогично $FD$ биссектриса угла $BFC$

Пусть $FD \cap (EDG)=I$ тогда $\angle HFD=\angle DEG=\angle DIG$ отсюда $HF||DI$ значит $IGD$ гомотетичен $DHF$ а так как центр гомотетии лежит на обоих окружностях значит эти окружности касаются в точке $D$

Заметим,что D это инцентр $\triangle ACF$ и также D это инцентр $\triangle ABE$ если взять $\angle A = 2\alpha$, $\angle ABE = 2\beta$ то $\angle HFD = \alpha + \beta$ и $\angle CED = 180^\circ - \alpha - \beta$ если провести касательную к $(FHD)$ то она тоже будет касаться $(GDE)$