Математикадан облыстық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 9 сынып

$ax^2+ bx + c =0$ теңдеуінің $a$, $b$, $c$ коэффициенттерінің бірін бір жүрісте 1-ге өзгерту арқылы бірнеше жүрісте $x^2 + 7x + 2007 =0$ теңдеуінен $7x^2 + 2007x + 1=0$ теңдеуін алуға болады. Алынған теңдеулердің бірінде бүтін шешімі болмауы мүмкін бе?

Комментарий/решение

Ответ: Нет.

Для ясности обозначим f(x) = x² + 7x + 2007 и g(x) = 7x² + 2007x + 1. Заметим, что f(-1) = 2001 и g(-1) = - 1999. Рассмотрим функцию h(x) в некоторый момент. Не сложно убедится, что за шаг h(-1) меняется ровно на единицу. Так как -1999 < 0 < 2001, то в некоторый момент h(-1) = 0, что значит, что -1 корень этого уравнения.