Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2021 год

Даны три попарно различных натуральных числа. Известно, что сумма любых двух из них делится на третье число. Докажите, что эти числа относятся друг другу как 1:2:3.

Комментарий/решение

Если три числа относятся к друг другу как 1:2:3, то есть как х:2х:3х. Сумма х+2х=3х ---- 3х:3х=1 значит делится

Сумма х+3х=4х ---- 4ч:2х=2 значит делится

Сумма 2х+3х=5х ---- 5х:х=5 тоже делится

Следовательно, какое бы мы число не подставили все ровно сумма двух будет делится нацело. Например х=3

3:6:9

(3+6):9=1

(3+9):6=2

(6+9):3=5

Ответы после делиния одинаковы, что и при и х. что и при 3.