Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, II тур регионального этапа

Правильный треугольник $T$ со стороной 111 разбит на правильные треугольники со стороной 1. Все вершины этих треугольников, кроме находящейся в центре $T$, отмечены. Назовём множество отмеченных точек линейным, если все его точки лежат на одной прямой, параллельной стороне треугольника $T$. Сколько существует способов разбить все отмеченные точки на 111 линейных множеств?

Комментарий/решение

Рассмотрим параллелограмм (ромб) со стороной 1 у которого одна вершина находится на левой нижней вершине треугольника Т. Тк эта вершина находится в одном из множеств, значит рассмотрим 3 случай, но тк если он параллелен сторон к которым он прилегает то фигуру можно повернуть, так что достаточно рассмотреть 2 случая.

1. Прямая параллельна стороне напротив угла, значит правая от нее вершина тоже параллельна, тк если она не параллельна, то есть два случая, но в одном первая точка будет лежать на прямой (лево-право), значит она лежит в двух множествах - противоречие , если провести (лево - право верх) то у вершины над первой точки нет прямых для множеств, значит противоречие.

2. Параллельна прилежащей стороне, то вершина которая образует сторону ромба с начальной вершиной не лежащей на прямой тоже параллельна этой стороне, иначе либо первая вершина будет лежать два раза на одной прямой, либо противолежащая вершина будет лежать на двух прямых

Получаем что есть только 3 способа, где все прямые множеств параллельны (неуверен, что точно все рассмотрел, так что могут быть пропуски где-то)