7-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 3 тур

2024 санын 1, 2, $\ldots$, 1000 сандарына бөлгенде, сәйкесінше, ${r_{1}},{r_{2}},\ldots,{r_{1000}}$ қалдықтары шыққан. ${r_{1}},{r_{2}},\ldots,{r_{1000}}$ сандарының арасында ең үлкені нешеге тең?

Комментарий/решение

Пусть $2024 \equiv r_i \pmod {i}$, тогда $i | 2024-r_i => i\leq \frac {2024-r_i}{2}$, т.к иначе $i+r_i=2024$, но такое невозможно т.к $r_i<i; i≤1000=> i+r_i≤1999$, значит неравенство выше верно. Так как $r_i<i => 3r_i<2024=> r_i<\frac{2024}{3} => r_i≤674$

Рассмотрим 2024 ≡ r mod k. r = 2024 - k[2024/k]. Так как k <= 1000, то [2024/k] >= 2. При k >= 675 имеем r = 2024 - 2k <= 674. При k <= 674 имеем r < 674. Ответ 674 при делении на 675