7-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 2 тур

Вычислите $\frac{|S|}{2024}$, если $$S=1^2+2^2-3^2-4^2+5^2+6^2-7^2-8^2+\ldots+2021^2+2022^2-2023^2-2024^2.$$

Комментарий/решение

a²-b²=(a-b)(a+b)

1²-3²=(1-3)(1+3)

2²-4²=(2-4)(2+4)

...

2022²-2024²=(2022-2024)(2022+2024)

И видим что в каждом выражений (a-b)=(-2 )

Выводим -2 через скобку

Тогда будет (-2)(1+3+2+4+...+2022+2024) По теорему Гауса 1+2+3+...+2024=(2024(2024+1))/2=2049300

2049300×(-2)=(-4098600)

[-4098600]=4098600

4098600/2024=2025

Обычно за большие арифметические действия могут придраться поэтому лучше было сказать

$1+2+3...+2024=\frac {2024\times2025}{2}$ и отсюда вывести

$\frac {|S|}{2024}=\frac {|-2\times2024\times2025|}{2024\times2}=|-2025|=2025$

Пусть $S_{n}=1^2+2^2-3^2-4^2+\cdots+(4n-3)^2+(4n-2)^2-(4n-1)^2-(4n)^2$

По индукции докажем что $\forall n \in N:S_{n}=-4n(4n+1)$

База:$n=1:1^2+2^2-3^2-4^2=-20$

Переход:$S_{n+1}=S_{n}+(4n+1)^2+(4n+2)^2-(4n+3)^2-(4n+4)^2=-4n(4n+1)+16n^2+8n+1+16n^2+16n+4-16n^2-24n-9-16n^2-32n-16=-4n(4n+1)-32n-20=-16n^2-36n-20=-16n^2-16n-20n-20=-(4n+4)(4n+5)$

Значит $\dfrac{|S|}{2024}=\dfrac{|-2024*2025|}{2024}=2025$