7-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 2 тур

Тізбекке 101 санды келесі ережені сақтай отыра бірінен кейін бірін жазады: бірінші сан 1-ге тең, ал әр келесі сан (екінші саннан бастап есептегенде) оған дейін тұрған саннан 2-ге кем немесе оған дейін тұрған саннан 3 есе артық. Осы жазылған 101 санның қосындысы \\а) 2024-ке;\\б) 2023-ке\\тең бола алады ма?

Комментарий/решение

а)Ответ: Не могло.

Допустим у нас есть нечетное число $n$ значить $3n$ и $n - 2$ будут нечетным. Так как первое число нечетное то остальные будут нечетным. А сумма $101$ нечетных чисел будут нечетным.

б)Ответ: Не могло.

Мы знаем что все числа нечетные. Допустим у нас есть число $n$ то следующий число будет $3n$ или $n - 2$. $n + 3n = 4n \equiv 0 \pmod {4}$ и $n + n - 2=2(n - 1) \equiv 0 \pmod {4}$ так как $n$ нечетное а $n - 1$ четное. Временно уберем первое число. Тогда сумма все оставшиеся делится на $4$ значить. Значить сумма этих 101 чисел дают остаток $1$ по $(mod 4)$. А $2023 \equiv 3 \pmod {4}$