7-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 2 тур

В строку последовательно выписывают 101 чисел по следующему правилу: первое число равно 1, а каждое следующее, начиная со второго, или на 2 меньше предыдущего числа, или в 3 раза больше предыдущего числа. Могло ли оказаться так, что сумма всех 101 чисел равна
   а) 2024;
   б) 2023?

Комментарий/решение

а)Ответ: Не могло.

Допустим у нас есть нечетное число $n$ значить $3n$ и $n - 2$ будут нечетным. Так как первое число нечетное то остальные будут нечетным. А сумма $101$ нечетных чисел будут нечетным.

б)Ответ: Не могло.

Мы знаем что все числа нечетные. Допустим у нас есть число $n$ то следующий число будет $3n$ или $n - 2$. $n + 3n = 4n \equiv 0 \pmod {4}$ и $n + n - 2=2(n - 1) \equiv 0 \pmod {4}$ так как $n$ нечетное а $n - 1$ четное. Временно уберем первое число. Тогда сумма все оставшиеся делится на $4$ значить. Значить сумма этих 101 чисел дают остаток $1$ по $(mod 4)$. А $2023 \equiv 3 \pmod {4}$