7-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 2 тур

Натуральные числа $a$, $b$, $c$ удовлетворяют неравенствам: $$2a \ge b+c+1, \quad 7b \ge 3a+3c+1, \quad 7c \ge 4a+4b+1.$$ Найдите наименьшее возможное значение суммы $a+b+c$.

Комментарий/решение

$(1)$ $14b + 14c$ $\geq$ $6a + 6c + 2 + 8a + 8b + 2$ $\Rightarrow$ $c - b$ $\geq$ $11$

$(2)$ $8a$ $\geq$ $4b + 4c +4$ $\Rightarrow$ $8a + 7b + 7c$ $\geq$ $(4b + 4c + 4) + (3a + 3c + 1) + (4a + 4b + 1)$ $\Rightarrow$ $a - b$ $\geq$ $6$ $\Rightarrow$ $33a - 33b$ $\geq$ $198$

$(3)$$49b$ $\geq$ $21a + 21c + 7$, $21c$ $\geq$ $12a + 12b + 3$

$49b + 21c$ $\geq$ $(21a + 21c + 7) + (12a + 12b + 3)$ $\Rightarrow$ $37b - 33a$ $\geq$ $10$

$(2) + (3)$ $\Rightarrow$ $4b$ $\geq$ $208$ $\Rightarrow$ $b$ $\geq$ $52$

$c - 52$ $\geq$ $11$ $\Rightarrow$ $c$ $\geq$ $63$

$a - 52$ $\geq$ $6$ $\Rightarrow$ $a$ $\geq$ $58$

$a + b + c$ $\geq$ $58 + 52 + 63 =173$

$minimum$$(a + b + c) = 173$