11-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2024 год, первая лига, 7-8 классы

Дан вписанный $n$-угольник ($n > 3$). Через его одну вершину проведены все диагонали, которые делят его на ${n-2}$ треугольника. Каково наибольшее возможное количество равных треугольников, полученных в результате этого деления? (Вписанный $n$-угольник — это $n$-угольник, у которого все вершины лежат на окружности.) (Условие этой задачи отличается от оригинальной, так как был неправильно переведен.)

Комментарий/решение

Рассмотрим правильный n-угольник с последовательными вершинами X1, X2, ..., Xn Проведем диагонали

между последовательными вершинами с нечетными номерами получим

[n/2]

треугольники соответствующие △X1X2X3.

Остальная часть n угольника произвольно триангулируется

Если один из треугольников из условия острый (соответственно правый), то внутри него находится центр

окружности (соответственно на его границе). Таким образом, количество острых (соответственно правых) треугольников

в триангуляции равно 1. 2) не более.

Теперь рассмотрим тупые треугольники. Если некоторые из них совпадают, то их стороны, противоположные

тупым углам, равны. Середины этих сторон равноудалены от центра O

описанной окружности Ω, поэтому они лежат на окружности ω, также центрированной в точке O. Рассмотрим две последовательные

середины на ω, и пусть соответствующие стороны треугольников имеют конечные точки Х1, Х2 и У1, У2 на Ω

(перечисляя по часовой стрелке). Тогда У1 не может находиться между Х1 и Х2, иначе стороны пересекаются внутри

n-угольника.

Таким образом, пары вершин рассматриваемых треугольников расположены на Ω последовательно (конечно вершина может принадлежать двум таким треугольникам). Вершина тупого угла такого треугольника

расположена между двумя другими. Следовательно, вершины тупых углов равны