11-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2024 год, первая лига, 7-8 классы

$Y, Z$ нүктелері сүйір бұрышты $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің $BC$-ның кіші доғасындағы нүктелер (мұнда $Y$ нүктесі $BZ$ кіші доғасында жатыр). $X$ нүктесі үшін $\triangle ABC$ және $\triangle XYZ$ үшбұрыштары ұқсас және $A, X$ нүктелері $YZ$ түзуінің бір жағында жатыр. $XY, XZ$ түзулері $AB, AC$ қабырғаларын, сәйкесінше, $E, F$ нүктелерінде қияды. $BY$ және $CZ$ түзулері $K$ нүктесінде қиылысады. $AEF$ және $KBC$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлердің қиылысу нүктелерінің бірі $KX$ түзуінде жатқанын дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

$(BKC)\cup (KYZ)=D\ne Q\Longrightarrow \angle QDX=\angle QEX=\angle QEY=\angle QBY=\angle QBK=\angle QDK\blacksquare$