11-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2024 год, вторая лига, 9-10 классы

Эрик собрал выпуклый многоугольник $P$ из конечного числа центрально симметричных (не обязательно равных или выпуклых) многоугольных плиток. Докажите, что $P$ также является центрально симметричным.

Комментарий/решение

Рассмотрим произволную сторону S. БОО она вертикальная и находится слева P. Так как P выпуклый то эта сторона целая(не состоит из различных отрезков). Теперь рассмотрим плитки которые содержат элементы S. Так как каждая плитка центрально симметричная то по сходу границ следующие с ними соседние плитки которые содержат вертикальные части имеют одинаковую длину (с суммой S). Так как кол во плиток конечно то получим что в конце плитки должны сходится в единой стороне P (так как P выпуклы) которая тоже вертикальная, и сумма отрезков частей инвариант (равна S) оттуда у P 2 вертикальные стороны которые равны. Аналогично определив направления других сторон получим что у P стороны разбиваются на пары,где в каждой паре стороны парралельные и равные. Пусть сторона парралельная S и равная ей будет S'. Очевидно S и S' не соседние стороны. Тогда они разбивают стороны P на 2 цепи сторон. В каждой цепи не могут встретится парралельные стороны так как один из оринтированных внутренних углов будет больше 180 что противоречит выпуклости P. Так как это выполняется для всех пар сторон то S и S' противоположные стороны. Применив это к остальным сторонам получим что P центрально симметричный