11-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2023 год, третья лига, 11-12 классы

Суретте теңқабырғалы $ABC$ үшбұрышы аудандары бірдей 4 үшбұрышқа бөлінген. $ABX$, $BCY$, $CAZ$ үшбұрыштары өзара тең, ал төртінші $\triangle XYZ$ — теңқабырғалы үшбұрыш. $X, Y, Z$ нүктелері $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің бойында жатқанын дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Пусть точки $X,Y,Z$ лежат на вписанной окружности, тогда покажем что $S_{ABX}=S_{BCY}=S_{CAZ}=S_{XYZ}$

Доказательство : из условия $AZ=BX=CY=a$ и $XY=b$ тогда по теореме косинусов например для $AZC$ где $AZC=120^{\circ}$ получается $a^2+(a+b)^2+a(a+b)=AC^2$ но по теореме о секущей и касательной $\dfrac{AC^2}{4}=a(a+b)$ тогда $a^2+(a+b)^2+a(a+b)=4a(a+b)$ или $b^2=a^2+ab \ (1)$ но $S_{AZC}=S_{XYZ}$ это и есть $(1)$ ч т.д