Районная олимпиада, 2024-2025 учебный год, 9 класс

а) Решите уравнение $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{xy}$ в целых числах $x$, $y$.
   б) Разрешимо ли уравнение $\sqrt{x+20}+\sqrt{y+25}=\sqrt{xy+2025}$ в целых числах $x$, $y$?

Комментарий/решение

а) Из условия следует

$ \sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{xy}=0$

Значит $\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{xy}-1=-1$

Раскроем скобки $(\sqrt{x}-1)(\sqrt{y}-1)$ и получим $(\sqrt{x}-1)(\sqrt{y}-1)=-\sqrt{x}-\sqrt{y}+\sqrt{xy} +1$

Объединив все это

$ -(\sqrt{x}-1)(\sqrt{y}-1)=\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{xy} -1=-1$

Значит $(\sqrt{x}-1)(\sqrt{y}-1)=1$

А единицу можно получить только если $1 \times 1$ или $-1 \times -1$

Отсюда ответы

$x=y=0$ и $x=y=4$

б) Ответ: Да, разрешимо. Пример: $x=1580;y=0$

Скобки же необязательно целые

a) $\sqrt{x} + \sqrt{y} - \sqrt{xy} = 0 $

$\sqrt{x} + \sqrt{y} - \sqrt{xy} -1 = -1 $

$(\sqrt{x} - 1)(1 - \sqrt{y}) = -1 $

Очевидно что $ -1 = -1\cdot 1 $ и $ -1 = 1\cdot -1 $ ,отсюда

$ x = y = 0$ и $x = y = 4 $

Ответ: $x = y = 2 \pm 2$

b) Допустим что $ y = 0$ , тогда:

$\sqrt{x + 20} + \sqrt{25} = \sqrt{2025}$

$\sqrt{x + 20} = 45 - 5 =40$

$ x = 1580 $ ; $y = 0$

Ответ: Да

a) √x +√y = √xy

√x=√xy - √y

√x=√y(√x - 1) (возведем в квадрат и выразим y)

y = x/(√x-1)² ОДЗ: х≠1

Т.к нам нужно решить в целых x,y =>√х=n; x=n² (n²=4,9,16,...,)

Подставив заметим, что единственный подходящий для нас х это 4 и y=4. Для n>2 значения y становятся дробными т.к (n - 1)² >1 что недопустимо для целого y.

Рассмотрим случай при х=0: y= 0/(√0-1)² у=0 (этот ответ нам подходит

Ответ:(0;0) (4;4)

б) \sqrt{х+20} + \sqrt{y+25} = \sqrt{xy+2025}

Заметим что √2025 = 45 и при у=0 получим:

\sqrt{х+20} + \sqrt{25} = 45

\sqrt{x+20} + 5 = 45

\sqrt{x+20} = 40 => x=1580

Ответ: Да, например при (1580;0)

Если $x;y$ целые, это ещё не значит, что они полный квадрат.

a) Возьмём:

$\sqrt{x}=a$ ; $\sqrt{y}=b$, то есть $a^2=x$ и $b^2=y$.

Тогда выходит: $a+b=ab$, то есть $ab-a-b=0$.

Значит: $ab-a-b+1=1$.

Что равно: $(a-1)(b-1)=1$.

Докажем что $a$ и $b$ рациональные целые числа , возьмём то что если бы $a$,$b$ иррационал,в таком случае $(a-1)$ , $(b-1)$ тоже , но при умножение двух иррациональных чисел не может выйти $1$ ,а целые они потому что раз они корни целых чисел, являясь рациональными в таком случае они не могут быть не целыми.

С этого мы доказали что $a$ и $b$ целые рациональные числа.

В таком случае:

$(a-1)(b-1)=1$ это возможно лишь в случае $\Rightarrow$ $a-1=b-1$ $\Rightarrow$ $a=b$.(то и $x=y$)

Тогда:

$(a-1)×(a-1)=(a-1)²=1$.

$(a-1)²=a²-2a+1=1$ $\Rightarrow$ $a²-2a=0$.

Тогда по Дискриминанту :

$a_1=\frac{-(-2)+\sqrt{2²}}{2}=\frac{2+2}{2}=2$,

$a_2=\frac{-(-2)-\sqrt{2^2}}{2}=\frac{2-2}{2}=0$.

Так как: $a=\sqrt{x}$ то:

1) $a_1=2=\sqrt{x_1}$, $a^2=4=\sqrt{x_1}^2=x_1$.

2) $a_2=0=\sqrt{x_2}$, $a_2^2=0=\sqrt{x_2}^2=x_2$.

И если известно что $x=y$,

То ответ: $x_1=y_1=4$ и $x_2=y_2=0$.

b) в $\sqrt{x+20}+\sqrt{y+25}=\sqrt{xy+2025}$ очевидно видно что есть квадраты целых чисел $25$ и $2025$ Тогда чтобы превратить их в целое число, допустим взять $y=0$ ,то у нас выходит:

$\sqrt{x+20}+\sqrt{25}=\sqrt{2025}$

$\sqrt{x+20}+5=45$ $\Rightarrow$ $\sqrt{x+20}=45-5$,

$\sqrt{x+20}=40$.

Возведем в квадрат:

$\sqrt{x+20}^2=40^2$ $\Rightarrow$ $x+20=1600$. Тогда:

$x=1600-20=1580$.

Значит: $x=1580$ ;$y=0$.

Проверим:

$\sqrt{1580+20}+\sqrt{0+25}=\sqrt{0+2025}$.

$\sqrt{1600}+\sqrt{25}=\sqrt{2025}$.

$40+5=45$.

Из этого выходит что:

Ответ:Да ,уравнение в целых числах $x$,$y$ разрешимо.

Восьмая строка неверна: $\sqrt{2} \times \dfrac{1}{\sqrt{2}}=1$

$\sqrt{xy}$ = $\sqrt{x}$ $\cdot$ $\sqrt{y}$ $\equiv 0 \pmod {\sqrt{x}}$

$\sqrt{xy}$ =$ \sqrt{x}$ $\cdot$ $\sqrt{y}$ $\equiv 0 \pmod {\sqrt{y}}$

$\sqrt{x} + \sqrt{y} \equiv 0 \pmod {\sqrt{x}}$ $\Rightarrow$ $\sqrt{x} \equiv 0 \pmod {\sqrt{y}}$

$\sqrt{x} + \sqrt{y} \equiv 0 \pmod {\sqrt{y}}$ $\Rightarrow$ $\sqrt{y} \equiv 0 \pmod {\sqrt{x}}$

$\sqrt{x} = \sqrt{y}$ $\Rightarrow$ $2 \cdot \sqrt{x} = x$ $x = 0$ or $2 = \sqrt{x}$ $x = 4$