Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2024-2025 учебный год, III тур дистанционного этапа

Сторона $BC$ выпуклого четырехугольника $ABCD$ видна из середины $M$ его стороны $AD$ под углом $90^\circ$. Биссектрисы треугольника $BMC$ пересекаются в точке $I$. Известно, что $\angle ABM = \angle MIC$ и $\angle BIM = \angle MCD$. Докажите, что $AI = DI$. ( А. Кузнецов )

Комментарий/решение

Допустим это неверно. Но по условию это надо доказать, что значит, что это является верным утверждением. А значит это противоречие предположению. Поэтому это верно => доказано

Эмм

Что Эмм? Я доказал очевидное

Пусть $\angle BCD=2\alpha \angle ABC=2\beta, \angle BIC=90^\circ+\angle BMC/2=135^\circ \Rightarrow \alpha+\beta=45^\circ$ Теперь возьмём $C'$ симметричную точке $C$ относительно точки $M$. Получается $C'ACD$ паралл-мм $\Rightarrow \angle MIC=\angle MCD=\angle AC'C=90+\alpha MC'=MC BM\perp CC' \Rightarrow BC'=CC' \Rightarrow \angle BC'C=2\alpha$. $D \in CC' \angle AC'B=90+\alpha-2\beta=45+\beta \Rightarrow DC'A=45+\beta \Rightarrow C'A$ биссектра $\angle DC'B, \angle BAC'=360^\circ- 90^\circ- 90- \beta-90^\circ-\alpha=45^\circ \Rightarrow \angle ABC'=45^\circ+\alpha \Rightarrow \angle C'BM=90^\circ-2\alpha, E \in MB \Rightarrow \angle EBA=45+\alpha \Rightarrow BA$ биссектриса $\angle C'BE \Rightarrow MA$ биссектриса $\angle C'MB \Rightarrow \angle AMB=45 \Rightarrow IM \perp AP \Rightarrow AI=DI$