Областная олимпиада по математике, 2025 год, 9 класс

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберге $C$ нүктесінде жүргізілген жанама түзу $AB$ түзуін $D$ нүктесінде қияды. $CAB$, $CBA$ және $CDA$ бұрыштарының биссектрисалары шектейтін үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер $CD$ түзуімен жанасатынын дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

Пусть $\angle DBC = \beta$ и $\angle BAC = \alpha$,пусть биссектриса угла B и A пересекаются в точке K,B и D в точке E,A и D в точке F.

$\angle AFD = \angle KFE =\beta=\angle KCE$ т.к K инцентр треугольника ABC и Е инцентр треугольника BDC и F центр вневписанной окружности ADC напротив угла D.$\angle AKE =\alpha+\beta$ значит $\angle KCF =\alpha.\angle ECD=90^\circ-\alpha $ значит через счет углов $\angle EFC =90^\circ-\alpha$.

Б.О.О. $BC>AC$.Пусть биссектриса угла $B$ и $A$ пересекаются в точке $E$, биссектриса eukf $A$ и $D$ пересекаются в точке, биссектриса угла $B$ и $D$ пересекаются в точке $G$, $\angle ABC=2a; \angle BAC=2b\Longrightarrow \angle BCD=180-2b\Longrightarrow \angle ADF=\dfrac{\angle BDC}{2}=b-a\Longrightarrow \angle AFG=180-\angle FAD-\angle FDA=180-(180-b+b-a)=a=\angle ABG\Longrightarrow DA\cdot DB=DG\cdot DF=DC^2\blacksquare$