Математикадан облыстық олимпиада, 2007-2008 оқу жылы, 11 сынып

Әрбір натурал жай $p$ саны үшін $f(p)$ жай болатындай коэффициенттері оң бүтін $f(x)$ көпмүшеліктерінің бәрін анықта.

Комментарий/решение

Пусть $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$. Пусть $q$ простой делитель числа $a_n+...+a_1+a_0$. Тогда по теореме Дирихле, если возьмем $p=qk+1$ простым, то $f(p)$ делится на $q$.Противоречие. Значит, либо такого $q$ нету, либо все значения многочлена одно простое число. Если такого $q$ нету, то сумма коэффициентов равен 1 и наша функция равен $f(x)=x$.

Ответы: $f(x)=x$ или $f(x)=p$, где $p$ простое число.