Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2025 год

Для попарно различных действительных чисел $a,b,c$ выполнены равенства: $a^{2}(b+c)=b^{2}(a+c)=2025.$ Чему может равняться значение выражения $c^{2}(a+b)$? ( Уалихан А. )

Комментарий/решение

Ответ: 2025

Раскрыв скобки получим a²b + a²c = b²a + b²c;

ab(a-b) + c(a-b)(a+b) = 0:

(a-b)(ab + ca + cb) = 0. По условию числа различны, поэтому а - b ≠ 0, тогда ab + ca + cb = 0, c(a+b) = -ab, c²(a+b) = -abc. Аналогично b(a+c) = -ac, b²(a+c) = -abc = 2025, c²(a+b) = 2025.