Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2025 год

Екі натурал санның қосындысы $9$-ға, ал көбейтіндісі $81$-ге бөлінсе, онда бұл екі санды жақсы сан деп атаймыз. Әр цифры $0$-ден артық бірақ $8$-ден кіші болатын, олар әртүрлі алты цифрмен жазылатын, әрқайсысы үш таңбалы болатын неше жақсы сандар жұбы бар? ($(M,N)$ мен $(N,M)$ жұптары бірдей деп есептеледі.)

Комментарий/решение

Если сумма чисел делится на 9, значит их сумма цифр тоже, очевидно что сумма от 1 до 7 равна 28, значит у нас нет цифры 1, теперь у нас есть 6 чисел и их надо использовать, тк произведение делилось на 81, то значит

1) одно число делится на 81, 2) оба делятся на 9

1) значит одно чисел делится на 9, значит и другое тк сумма делится

2) очевидно что оба числа делятся на 9

если первое делится на 9 и второе, значит сумма цифр одного 9, у другого 18, если 18, то 5+6+7=18 значит все пары содержат одно из чисел 567;576;657;675;756;765 у каждого числа есть по 6 вариантов пар

(234;243;324;342;423;432) значит всего 36 пар