Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2025 год

$ABC$ үшбұрышында $\angle B=90^\circ$. $AC$ және $AB$ қабырғаларында, сәйкесінше, $P$ және $Q$ нүктелері $AP=PC$ және $\angle BQC=\angle AQP$ болатындай алынған. $AQ/QB$ қатынасын табыңыз.

Комментарий/решение

Опустим перпендикуляр PH из Р на катет AB, PH - средняя линия. Заметим что треугольники PHQ и BQC - подобны, причем раз PH - средняя линия, то есть PH = BC/2 то коэффициент подобия k = 1/2. Тогда HQ/QB = k = 1/2. Пусть HQ = x, тогда QB = 2x. Так как PH - средняя линия, то AH = HB = x + 2x = 3x, тогда AQ = 3x + x = 4x. Значит AQ/QB = 4x/2x = 2:1.

$\angle QBP=\angle QAC;$ $\angle CQA=\angle BQP\Rightarrow \triangle CQP~\triangle BQP\Rightarrow AQ/QB=AC/BP=2$

Пусть $X$-середина стороны $AB$ тогда так как $PX$-средняя линия то $\triangle PQX\sim \triangle CQB$ причем $k=0.5$ откуда $AQ=AX+QX=BX+QX=BQ+QX+QX=BQ+BQ=2BQ$