Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2012 год. Великобритания

Найдите все функции $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ такие, что $$ f(y f(x+y)+f(x))=4 x+2 y f(x+y) $$ для любых $x, y \in \mathbb{R}$.

Комментарий/решение

Ответ: $f(x)=2x , \forall x \in \mathbb{R}$

Решение:

$P(x,0)$ $\rightarrow$ $f(f(x))=4x$ отсюда очевидно функция биективна.

$P(0,x)$ $\rightarrow$ $f(xf(x)+f(0))=2xf(x) : (1)$

$P(f(x),0)$ $\rightarrow$ $f(f(f(x)))=4f(x)=f(4x)$ $\rightarrow$ $f(0)=0$

Отсюда из (1) следует что:

$f(xf(x))=2xf(x)$ $\rightarrow$ $f(f(1))=2f(1)=4$ значит $f(1)=2$ и $f(f(1))=f(2)=4$.

$P(1-x,x)$ $\rightarrow$ $f(xf(1)+f(1-x))=4(1-x)+2xf(1)=4=f(2)$ и из иньективности:

$2-2y=f(1-y)=2(1-y) <=> f(x)=2x, \forall x \in \mathbb{R}$.