Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2012 год. Великобритания

Простые числа $p$ и $q$ удовлетворяют условию $$ \frac{p}{p+1}+\frac{q+1}{q}=\frac{2 n}{n+2}$$ для некоторого натурального $n$. Найдите все возможные значения $q-p$.

Комментарий/решение

$\left(\frac{p}{p+1}\right)-1+\left(\frac{q+1}{q}\right)-1=\left(\frac{2n}{n+2}\right)-2$

$\frac{1}{p+1}-\frac{1}{q}=\frac{4}{n+2}$

$q>p+1$

$n+2=\frac{4q(p+1)}{q-p-1}$

$(q-p-1,q)=(-p-1,q)=(p+1,q)=q$

$\text{При }q\mid(p+1)$

$\text{Но тогда }p+1\geq q$

$\text{Противоречие}$

$\text{Значит }(p+1,q)=1$

$(q-p-1,p+1)=(q,-p-1)=(q,p+1)=1$

$\text{Значит }4\vdots(q-p-1)$

$\text{Случай 1}$

$q-p-1=1$

$q-p=2\quad(n\text{ равно например }78)$

$\text{Случай 2}$

$q-p-1=2$

$q-p=3,\quad q=5,\quad p=2,\quad n=28$

$\text{Случай 3}$

$q-p-1=4$

$q-p=5,\quad q=7,\quad p=2,\quad n=19$

$\text{Ответ: }2,3,5$