Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2012 год. Великобритания

Бесконечное количество людей зарегистрированы в социальной сети Mugbook. Некоторые пары (различных) пользователей зарегистрированы как друзья, но у каждого только конечное количество друзей. У каждого пользователя есть по крайней мере один друг. (Дружба симметрична, т.е. если $A$ друг $B$, то $B$ — друг $A$.)
   Каждый человек должен назвать одного из своих друзей лучшим другом. Если $A$ называет $B$ своим лучшим другом, то (к сожалению) это не значит, что $B$ обязательно назовет $A$ своим лучшим другом. Особа, которую назвали лучшим другом, называется 1-лучшим другом. Вообще для натурального $n>1$ пользователь называется $n$-лучшим другом, если его назвал лучшим другом человек, который является $(n-1)$-лучшим другом. Особа, которая является $k$-лучшим другом для любого натурального $k$, называется популярной.
   (a) Докажите, что каждая популярная особа является лучшим другом другой популярной особы.
   (b) Докажите, что если у пользователей может быть бесконечное количество друзей, то может случиться так, что популярная особа не является лучшим другом популярной особы.