Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO) 2012. Великобритания

$H$ нүктесі сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышының ортоцентрі, $\Gamma$ — оған сырттай сызылған шеңбер. $\Gamma$-ның $A$-ны қамтымайтын $BC$ доғасында $K$ нүктесі алынған. $L$ — $K$ нүктесіне $AB$-ға қатысты, $M$ — $K$ нүктесіне $BC$-ға қатысты симметриялы нүкте. $E$ — $\Gamma$ және $BLM$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің екінші қиылысу нүктесі. $KH,$ $EM$ және $BC$ түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіз (Үшбұрыштың ортоцентрі деп оның биіктіктерінің қиылысу нүктесін айтамыз.)

Комментарий/решение

$$AH\cap \Gamma = D, \angle BEM=\angle LMB=90^\circ-\angle LKM,$$

а при повороте на $90^\circ: KL\to AB, MK\to BC$, поэтому $$90^\circ-\angle LKM=90^\circ-\angle ABC=\angle BAD=\angle BED,$$

то есть $E,M,D$ лежат на одной прямой. При симметрии относительно $BC:K\to M,H\to D$, значит $KH$ и $EM$ - прямые, которые являются симметричными относительно $BC$. Это равносильно требуемому.