Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2016 год. Румыния

Диагонали $AC$ и $BD$ вписанного четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $X$. Точки $C_{1}, D_{1}$ и $M$ — середины отрезков $CX,$ $DX$ и $CD$ соответственно. Прямые $AD_{1}$ и $BC_{1}$ пересекаются в точке $Y$, а прямая $MY$ пересекает диагонали $AC$ и $BD$ в различных точках $E$ и $F$ соответственно. Докажите, что прямая $XY$ касается окружности, описанной около треугольника $EFX$.

Комментарий/решение

$C_1D_1||CD$, откуда по лемме Фусса получаем, что $ABC_1D_1$ - вписанный. Заметим, что $XC_1MD_1$ является параллелограммом. $\angle XD_1Y=\angle XC_1Y$, поэтому по лемме об изогоналях получаем, что $YX$ и $YM$ - изогонали угла $\angle AYB$. $$\angle EFX=\angle D_1BC_1+\angle FYB=\angle D_1AC_1+\angle XYA=\angle EXY,$$ что равносильно требуемому.