Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2017 год. Швейцария

Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$, в котором $\angle DAB=\angle BCD=90^{\circ}$ и $\angle ABC > \angle CDA$. Пусть $Q$ и $R$ — точки пересечения некоторой прямой с отрезками $BC$ и $CD$, соответственно, а $P$ и $S$ — точки пересечения этой прямой с прямыми $AB$ и $AD$, соответственно. Известно, что $PQ=RS$. Обозначим середину отрезка $BD$ через $M$, а середину отрезка $QR$ через $N$. Докажите, что точки $M,$ $N,$ $A$ и $C$ лежат на одной окружности.

Комментарий/решение

Очевидно, что $N$ - середина $PS$, значит $AN$ и $CN$ - медианы в прямоугольных треугольниках $PAS$ и $QCR$ соответственно.

Обозначим $\angle DPS=\alpha$ и $\angle DSR=\beta$. Значит, $\angle NRC=\alpha$, отсюда $\angle QNC=2\alpha$, аналогично получим, что $\angle ANQ=2\beta$. Поэтому $\angle ANC=\angle NRC+\angle QNC=2(\alpha +\beta)$. Значит для решения задачи необходимо показать, что $\angle AMC=2(\alpha+\beta)$. Из теоремы о внешнем угле для треугольника $DRS$: $\angle ADC=\alpha +\beta$. Из условия ясно, что $M$ - центр $(ABCD)$, отсюда $\angle AMC=2\angle ADC=2(\alpha +\beta)$. Значит, точки $M,N,A$ и $C$ действительно лежат на одной окружности.